三角函數二三倍角和差 積化 公式證明

如標題 我想 我忘記怎證明了 希望有人能把 三角函數公式都證明過一次 二、三、半倍角 和差化積 、積化和差 公式證明

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訪客評論

  1. #1 妙蛙種子 2009-07-31, 1:59 PM
    利用以下關係式:
    1.  exp( i*N*A ) = [ exp( i*A) ] ^N
    2. exp( i*B) = cos(B) + i*sin(B)

    如果原函數是實數, 就取實部.  如果是虛數, 就取虛部.

    1.  兩倍角公式:
    exp(i*2*A) = [exp(i*A)]^2
    ==>
    cos(2*A) + i*sin(2*A)
    = [ cos(A) + i*sin(A)]^2
    = { [cos(A)]^2 - [sin(A)]^2 } + i*2*sin(A)*cos(A)
    前後取實部:
    得 cos( 2*A ) = [cos(A)]^2 - [sin(A)]^2
    前後取虛部:
    得 sin(2*A) = 2*sin(A)*cos(A)

    2. 三倍角公式:
    exp(i*3*A) = [exp(i*A)]^3
    ==>
    cos(3*A) + i*sin(3*A)
    =   [ cos(A) + i*sin(A)]^3
    = [cos(A)]^3 - 3*i*[cos(A)]^2 *sin(A) - 3*cos(A)*[sin(A)]^2 - i*[sin(A)]^3
    前後取實部:
    cos(3*A) = [cos(A)]^3 - 3*cos(A)*[sin(A)]^2 = 4 [cos(A)]^3 - 3cos(A)
    前後取虛部:
    sin(3*A) = - 3*[cos(A)]^2 *sin(A) - [sin(A)]^3 = 3*sin(A) - 4[sin(A)]^3

    3. 半角公式:
    cos(A)
    =   [cos(A/2)]^2 - [sin(A/2)]^2
    =  1 -  2*[sin(A/2)]^2
    = 2*[cos(A/2)]^2 - 1
    所以
    [sin(A/2)]^2 =  [ 1- cos(A) ] / 2
    [cos(A/2)]^2 =  [ 1+ cos(A) ] / 2

    4. 和差化積:
    exp( i*(A+B) ) = cos(A+B) + sin(A+B)
    exp( i*(A+B) ) = exp(i*A) * exp(i*B) = [cos(A)+i*sin(A)]*[cos(B)+i*sin(B)] = cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B) + i*[sin(A)*cos(B)+cos(A)*sin(B)]
    取實部.
    得 cos(A+B)= cos(A)*cos(B) - sin(A)*sin(B)
    取虛部
    得 sin(A+B) = sin(A)*cos(B)+cos(A)*sin(B)

    5. 積化和差:
    基本上這東西和和差化積一樣. 所以就不證了

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